Campo de Anillo Cargado


Material muy interesante extraído desde la pagina  http://laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_el%C3%A9ctrico_de_un_anillo_y_un_disco

Anillo

Calculamos el campo eléctrico empleando el principio de superposición. Consideramos el anillo formado por pequeños elementos de carga, cada una de los cuales produce una contribución diferencial al campo
\mathrm{d}\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q}{d_{AP}^2}\vec{u}_{AP}
siendo dAP la distancia entre el punto A donde se encuentra el elemento de carga y el punto P donde queremos hallar el campo. \vec{u}_{AP} es el vector unitario en la dirección de la recta que pasa por A y P y lleva el sentido de A a P.
En el caso del anillo con una carga uniformemente distribuida, dividimos el anillo en segmentos de longituddl, cada uno de los cuales tiene una carga
\mathrm{d}q = \frac{Q}{L}\mathrm{d}l = \frac{Q}{2\pi R}\mathrm{d}l
La distancia entre cada punto del anillo y un punto del eje es la misma para todos ellos. Por el teorema de Pitágoras
d = \sqrt{R^2+z^2}
siendo z la altura del punto de observación sobre el anillo. Esta coordenada puede ser positiva o negativa.
El vector \vec{u}, en cambio, depende del punto del anillo que crea el campo diferencial, de forma que tenemos
\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{(Q/L)\mathrm{d}l}{(R^2+z^2)}\vec{u}_{AP}
Cuando sumamos las contribuciones de puntos opuestos del anillo, las componentes paralelas al plano del anillo se anulan mutuamente, como en el caso de dos cargas iguales. Las componentes en la dirección del eje se suman. Por ello, la resultante, el campo en el punto P, posee la dirección del eje Z. La contribución de cada elemento de carga en esta dirección es
\mathrm{d}E_z = \left|\mathrm{d}\vec{E}\right|\cos(\theta)= \left|\mathrm{d}\vec{E}\right|\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{z(Q/L)\mathrm{d}l}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}
y el campo total es
E_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{z(Q/L)\mathrm{d}l}{(R^2+z^2)^{3/2}}= \frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}
La integral es inmediata, ya que el integrando está constituido por cantidades que no dependen del punto del anillo y son por tanto constantes respecto a la integración. El cálculo se reduce entonces
\int \mathrm{d}l = L=2\pi R\,
que se cancela con el que aparece en el denominador.
En forma vectorial este campo se expresa
\vec{E}=\frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}
Si representamos la componente Ez del campo como función de la distancia al plano del anillo, obtenemos que en el punto central el campo es nulo, y que también se anula en puntos muy alejados del él, pero a distancias intermedias crece hasta un valor máximo. El sentido del campo es siempre alejándose del anillo (suponiendo su carga positiva) lo que se manifiesta en que el signo de la componente Ez es positiva para z > 0 y negativa para z < 0

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