Linea Infinita de Carga

Campo eléctrico generado por una línea infinita de carga y densidad lineal de carga λ constante


Campo eléctrico creado por un elemento dx de una línea infinita de carga.
La figura muestra una porción de una línea infinita de carga de densidad lineal de carga uniforme \lambda \,\!=\frac{dq}{dx}.
La magnitud de la contribución de campo eléctrico d\vec E sobre el punto P debida al elemento de carga dq=\lambda dx \,\! está dada por:
dE=\frac{1}{4\pi {\epsilon}_0}\frac{dq}{r^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon}_0}\frac{\lambda dx}{x^2+y^2} (1)
El vector d\vec E tiene las componentes:
dE_x=-dE \sin \theta\,\! y dE_y=dE \cos \theta\,\!
El signo menos delante de dE_x\,\! indica que d{\vec E}_x apunta en la dirección negativa de las x.
Por tanto, las componentes x e y de \vec E en el punto P, están dadas por:
E_x=\int dE_x=-\int_{x=-\infty}^{x=+\infty} \sin \theta \, dE
y
E_y=\int dE_y =\int_{x=-\infty}^{x=+\infty} \cos \theta \, dE
En estas expresiones E_x\,\! debe ser cero porque todo elemento de carga a la izquierda de la perpendicular que une P con la línea de carga tiene un elemento correspondiente a la derecha, de modo que sus contribuciones al campo en la dirección de las x se anulan mutuamente. Así pues, \vec E apunta exactamente en la dirección de las y. Como las contribuciones a E_y\,\! de la mitad derecha y de la mitad izquierda de la línea de carga son iguales, se puede escribir:
E=E_y=2\int_{x=0}^{x=+\infty} \cos \theta \, dE
sustituyendo la expresión (1) en esta ecuación, se tiene:
E=2\int_{x=0}^{x=+\infty} \cos \theta \, \frac{1}{4\pi {\epsilon}_0}\frac{\lambda dx}{x^2+y^2}=\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon}_0}\int_{x=0}^{x=+\infty} \cos \theta \, \frac{dx}{x^2+y^2} (2)
Siendo \tan \theta = \frac {x}{y}, se tiene x=y\tan \theta \,\!, diferenciando esta expresión resulta: dx=y{\sec }^2 \theta d \theta\,\! y sustituyendo en (2) se obtiene:
E=\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon}_0}\int_{x=0}^{x=+\infty} \cos \theta \, \frac{y{\sec }^2 \theta d \theta}{x^2+y^2}=\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon}_0}\int_{x=0}^{x=+\infty} \frac {y}{x^2+y^2}\cos \theta {\sec }^2 \theta d \theta   (3)
Si se tiene en cuenta que: \cos \theta = \frac{y}{r},    \sec \theta = \frac{r}{y}\quad     y    \quad x^2+y^2=r^2\,\!,     se puede establecer que:
\frac {y}{x^2+y^2}\cos \theta {\sec }^2 \theta d \theta=\frac {y}{r^2}\frac {y}{r} \frac {r^2}{y^2}=\frac {y}{ry}= \frac {\cos \theta}{y}
Sustituyendo en la expresión (3) se obtiene
E=\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon}_0 y}\int_{x=0}^{x=+\infty} \cos \theta d \theta
x \rightarrow 0 \,\!
Obsérvese que cuando , \theta \rightarrow 0 \,\! y cuando x \rightarrow +\infty \,\!, \theta \rightarrow \frac {\pi }{2} \,\!, por lo tanto:
E=\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon}_0 y}\int_{\theta=0 }^{\theta =\frac {\pi }{2}} \cos \theta d \theta =\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon}_0 y}\Bigg[ \sin \frac {\pi }{2}- \sin 0\Bigg] = \frac {\lambda }{2\pi {\epsilon}_0 y}
Por lo tanto:
E=\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon}_0 y}


Extraído de la pagina Wikilibros.  http://es.wikibooks.org/wiki/Electricidad/Campo_el%C3%A9ctrico/Campo_el%C3%A9ctrico_generado_por_una_distribuci%C3%B3n_continua_lineal_de_carga

0 comentarios:

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)

Our offices

Copyright © 2013 CarolRibeiroFisica2014 and Blogger Templates