Linia Finita de Carga

Una barra de longitud l localizado a lo largo del eje x tiene una carga uniforme por unidad de longitud y una carga total Q.
Encuentre el potencial eléctrico en el punto P a lo largo del eje y a una distancia d del origen.

Una linea de carga uniforme de longitud l localizada a lo largo del eje x. Para calcular el potencial en P, la línea de carga se divide en segmentos, cada uno de longitud dl, que tienen una carga dq=λdx

Solución
El elemento de longitud dx tiene una carga dq=λdx donde λ es la carga por unidad de longitud, Q/l. Puesto que este elemento está a una distancia
r=x2+d2−−−−−−√
de P, podemos expresar el potencial en P debido a este elemento como:

dV=K(dq/r)=kλdx/x2+d2−−−−−−√

Para obtener el potencial total en P integramos esta expresión sobre los límites x=0 a x=l. si advertimos que K λ y d son constantes encontramos que

V=Kλ∫l0dx/x2+d2−−−−−−√=k(Q/l)∫l0dx/x2+d2−−−−−−√

Esta integral, que se encuentra en la mayoría de las tablas integrales, tiene el valor

∫dx/x2+d2−−−−−−√=ln(x+x2+d2−−−−−−√)

Al evaluar V, encontramos que

V=KQ/l=ln{({(l+ \sqrt{{l}^{2}+{d}^{2}}})}/d)}


Extraido de la pagina  http://electromagnetic-fields.wikispaces.com/Potencial+Electrost%C3%A1tico+Escalar