LINEAS DE CAMPO Y SUS PROPIEDADES

Líneas de fuerza

La representación de los campos vectoriales se hace mediante mapas semejantes a los de los campos escalares, pero usando líneas que representan la continuidad de la orientación de los vectores de campo sobre una región definida. Estas líneas reciben el nombre de líneas de fuerza.

Al igual que con los campos escalares, un campo vectorial no puede representarse fácilmente en tres dimensiones, por lo que normalmente se hacen proyecciones sobre los planos directores del sistema de coordenadas.

Las líneas de fuerza cumplen con las siguientes propiedades:

• Los vectores de campo en cualquier punto son siempre tangenciales a la línea de fuerza que pasa por el punto dado.
• Las líneas de fuerza no se cruzan en ningún punto aunque pueden seguir trayectorias cerradas.
• La cantidad de líneas de fuerza en cualquier porción del espacio en que se encuentra definido el campo es proporcional a la intensidad del campo vectorial.

En algunas otras ocasiones, la representación de campos vectoriales se hace a través de los vectores de campo directamente. En estos casos, la intensidad del campo vectorial se asocia a la densidad de vectores de campo en una región, tanto como a la longitud de los mismos.

Trazado de las líneas de fuerza de un campo vectorial

De acuerdo con la definición de línea de fuerza, una línea de fuerza es tangente a los vectores de campo en todos los puntos del espacio vectorial definido. Esto, se ilustra gráficamente:

.

Se observa claramente que el vector de campo tiene la misma dirección de la recta tangente a la línea de fuerza en el punto de tangencia.

En este caso, el vector de campo tiene dos componentes denominados  y  respectivamente; resulta entonces que la relación entre las componentes del vector da como resultado la pendiente de la recta tangente a la línea de fuerza en cada punto de tangencia.

Dado que la pendiente de la recta tangente es la derivada de la curva, se puede entonces proponer una igualdad definida por:

La familia de soluciones a esta ecuación diferencial es entonces la misma familia de curvas que representa las líneas de fuerza.

Para el caso considerado en el Ejemplo 18 , el campo vectorial tiene por ecuación:

En este caso, la ecuación diferencial planteada quedaría:

La familia de soluciones de esta ecuación es de la forma:

Para diferentes valores de k tanto negativos como positivos se obtienen diferentes líneas de fuerza según se ilustra:

Finalmente, la dirección de las líneas de fuerza la define la ecuación del campo vectorial, por ejemplo en el primer cuadrante, tanto x como y tienen signo positivo, por lo cual las líneas de fuerza van en la dirección del semieje x positivo y del semieje y negativo.

El mismo método de análisis se usa para definir la dirección en los cuatro cuadrantes.

Como se observa al comparar las gráficas de las líneas de fuerza y las obtenidas en el Ejemplo 17 , las líneas de fuerza son perpendiculares a las equipotenciales, como es de esperarse de acuerdo con las propiedades del vector gradiente.