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2º problemas resueltos t 6 ley de gravitación universal from Mauricio Enrique Crespin Lopez

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1.1 Momento angular

En Física y Química de primero de bachillerato estudiaste el momento lineal (p) de un sistema (también denominado cantidad de movimiento). Este se definía como el producto de la masa por la velocidad instantánea (p = m·v) y resultaba de gran utilidad en el estudio de las colisiones, pues en ausencia de fuerzas externas su valor se conservaba.

Cuando se trata del movimiento de sistemas en rotación resulta interesante introducir una magnitud análoga, que simplifique su estudio.

Imagen 6. Prometeus Creative Commons

Cuando una partícula de masa  se mueve con velocidad  se define su momento angular () respecto a un punto O como el producto vectorial de su posición respecto a dicho punto () por su momento lineal ()

De esta definición se deduce que la unidad del momento angular en el S.I. es kg·m²·s^-1

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores  y  , se representa como  y es otro vector  que tiene las siguientes propiedades:

Imagen 7. Schorschi2 Dominio público

• Su módulo es  siendo  el ángulo definido por los vectores  y .

• Su dirección es perpendicular al plano definido por los vectores  y .

• Su sentido es el correspondiente al avance de un sacacorchos al girar desde la posición del vector  hasta el , también indicado por la regla de la mano derecha, según se indica en la figura.

De esta definición de momento angular pueden extraerse unas conclusiones interesantes:

1) El momento angular es una magnitud vectorial, por lo que viene caracterizado por su módulo, dirección y sentido, que serán las correspondientes al producto vectorial que ya has estudiado en matemáticas.

• El módulo toma un valor , donde es el ángulo formado entre el vector posición y el vector velocidad
• La dirección es perpendicular al plano formado por el vector posición y el vector velocidad (ortogonal a ambos por tanto)
• El sentido viene dado por la denominada "regla de la mano derecha o del sacacorchos"

2) El momento angular no es una magnitud intrínseca, sino que depende del origen de referencia tomado. En otras palabras, el valor del momento angular cambia en función del punto respecto al que se calcule.

Aunque en su momento no se definió como tal, existe otro tipo de momento que se calcula como producto vectorial de dos vectores: es el momento de una fuerza, que también se introdujo en la Física y química de 1º de Bachillerato, definido como el producto vectorial entre una fuerza y el vector posición respecto a un punto ().

En la siguiente animación puedes ver la relación entre ambos momentos y su variación temporal comparada. Resulta interesante observar cómo el sentido del momento cambia en función de la dirección del movimiento.

Animación 1. Yawe Dominio público

Este es el tratamiento general que se da al estudio de movimientos curvilíneos, pero en este curso el estudio se restringirá a movimientos circulares (y elípticos, llegado el caso), por lo que el punto de referencia O se tomará siempre como el centro de giro.

En el caso de un movimiento circular uniforme (m.c.u.) entonces la distancia de la partícula respecto al centro es constante e igual al radio de la circunferencia (r), y además se cumple que  y  son siempre perpendiculares, de modo que en todo momento.

Con estas consideraciones, el momento angular respecto al centro de la circunferencia toma el valor:

En el estudio del m.c.u. se vio la conveniencia del uso de la velocidad angular frente a la velocidad lineal. Ambas estaban relacionadas según la ecuación , por lo que el momento angular se expresa:

En un movimiento circular uniforme el momento angular L es constante y de valor 

Imagen 8. M. Peinado Creative Commons

Un camión de bomberos de 5000 kg toma una curva de 100 m de radio con una velocidad lineal constante de 72 km/h.

Calcula el momento angular de la camioneta respecto al centro de la curva.

Imagen 9. Io9 Creative Commons

La Tierra viaja en torno al Sol siguiendo una órbita que se completa en un año. Suponiendo que se trata de una órbita circular de radio 1.5·10¹¹ m, calcula el momento angular orbital de la Tierra respecto al Sol.

La velocidad se obtiene como cociente entre el espacio recorrido respecto al tiempo tardado en hacerlo. Teniendo en cuenta que 1 año son:  segundos. Entonces:

 

Y aplicando la expresión del momento angular:

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Principio de conservación del momento angular

En la página anterior, demostramos que el momento de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido hace cambiar el momento angular con el tiempo

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

Problema

Para practicar el principio de conservación del momento angular, se resuelven problemas semejantes al del enunciado siguiente.

Una bala de 0.2 kg y velocidad horizontal de 120 m/s, choca contra un pequeño diente situado en la periferia de un volante de masa 1.5 kg y 12 cm de radio, empotrándose en el mismo. Suponiendo que la bala es una masa puntual, que el volante es un disco macizo y homogéneo (no se tiene en cuenta el pequeño diente). Calcular:

• La velocidad angular adquirida por el sistema disco - bala después del choque
• La pérdida de energía resultante

Planteamiento

Este problema es de aplicación del principio de conservación del momento angular por que las fuerzas exteriores actúan en el eje del disco que permanece fijo, el disco solamente puede girar en torno a su eje no puede trasladarse. El momento de dichas fuerzas respecto del centro del disco es cero, por lo que el momento angular respecto del centro del disco es constante.

El momento angular inicial es el momento angular de la partícula

L_i=mdvcosq

El momento angular final es el del disco con la partícula empotrada a una distancia d del centro del disco, girando con velocidad angular w . El momento angular final es el producto del momento de inercia (del disco más la partícula) por la velocidad angular de rotación.

Aplicando el principio de conservación del momento angular, calculamos la velocidad angular w de rotación del sistema formado por el disco y la partícula empotrada en él.

La energía perdida en la colisión es igual a la diferencia entre la energía final de rotación del sistema formado por el disco y la partícula empotrada en él, y la energía cinética de la partícula.

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Conservación de la cantidad de movimiento

Recuerda el teorema del impulso mecánico:

F⃗ ⋅△t=△p⃗ 

Si la fuerza resultante es nula, también será nula la variación el momento lineal, lo que equivale a decir que el momento lineal es constante:

F⃗ =0⃗ ⇒△p⃗ =0⃗ ⇒p⃗ =cte→

Si te fijas, la conservación de la cantidad de movimiento de un cuerpo equivale al Principio de inercia.

Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, su momento lineal o cantidad de movimiento es constante y si la masa del cuerpo es constante, su velocidad también lo es. Este razonamiento lo podemos expresar así:

F⃗ =0⃗ ⇒△p⃗ =0⃗ ⇒mv⃗ =cte→

y si

m=cte⇒v⃗ =cte→

La conservación de la cantidad de movimiento se puede generalizar a un sistema de partículas.

Un sistema de partículas es un conjunto de cuerpos o partículas del que queremos estudiar su movimiento.

La cantidad de movimiento o momento lineal de un sistema de partículas se define como la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas que lo forman:

p⃗ =p⃗ 1+p⃗ 2+...+p⃗ n

Aunque la cantidad de movimiento del sistema permanezca constante, puede variar la cantidad de movimiento de cada partícula del sistema. El principio de conservación de la cantidad de movimiento es un principio fundamental que se cumple sin ninguna excepción y así se ha confirmado experimentalmente.

Principio de conservación de la cantidad de movimiento:
Si la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas es nula, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante.

En el siguiente simulador puedes ver el caso de la explosión de una masa que se divide en varios trozos.

Antes de la explosión, el sistema tiene una sola partícula de masa M con una velocidad 0, por lo que su momento lineal es p_antes = 0. Tras la explosión el sistema tiene varias partículas y el momento lineal de cada una es m_i·v_i. La suma vectorial de los momentos lineales de todas las partículas tras el choque también es cero.

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